近日，厦门大学数学科学学院马家骏副教授与美国康奈尔大学Dan Barbasch教授、浙江大学孙斌勇教授、新加坡国立大学朱程波教授合作完成的成果“Special Unipotent Representations of Real Classical Groups: Construction and Unitarity”，被国际顶尖数学期刊Journal of the American Mathematical Society（《美国数学会杂志》）正式发表。该论文于2017年12月完成初稿，几经修改，历经近9年，于2026年6月被JAMS接受。这是厦门大学教师首次在国际数学界公认的四大顶尖期刊上发表高水平研究成果。

约化群的表示理论是现代数学“朗兰兹纲领”的核心课题之一，对数论、调和分析等领域有深远影响。其中，由 Arthur 提出、并经 Adams-Barbasch-Vogan（ABV） 进一步发展的“特殊幂幺表示”（special unipotent representations）理论，被认为是构造一般自守表示的基本“砖块”，其酉性长期以来是一个尚未证明的重要猜想。

要理解幂幺表示的意义，可以借助矩阵的若当分解（Jordan decomposition）来类比：任意可逆矩阵都可以唯一地分解为一个可对角化矩阵与一个幂幺矩阵（unipotent matrix，即特征值全为 1 的矩阵）的乘积；其中可对角化的因子由特征值完全决定，而幂幺的因子的共轭类只有有限多个——完全由若当块的大小（即正整数的分拆）所刻画。从哲学的角度，约化群的表示论中也有一条平行的“若当分解”原则：任意一个不可约表示，都可以从某个幂幺表示出发，通过抛物诱导（parabolic induction）或上同调诱导（cohomological induction）构造出来——其中的幂幺表示对应着若当分解里的幂幺因子，而诱导操作，则扮演了可对角化因子的角色。正因如此，幂幺表示是刻画约化群酉对偶（unitary dual，即全体不可约酉表示）这一终极目标的基石。与幂幺矩阵的共轭类只有有限多个相仿，特殊幂幺表示的个数也是有限的；其精确的组合计数公式出自本文的姊妹篇《Special unipotent representations of real classical groups: Counting and reduction》（已发表于国际著名数学期刊Journal of the European Mathematical Society，即《欧洲数学会杂志》）。在本文中，作者们针对所有实典型群（包括正交群、辛群、亚辛群和酉群），借助 Howe 创立的 theta 提升方法，系统地构造并完全分类了全部特殊幂幺表示，并证明它们均为酉表示，从而在实典型群的情形完整确立了著名的Arthur-ABV 猜想。这一成果在“约化群酉表示分类”这一宏大目标上迈出了重要一步。本文的另一项重要贡献，则是精确计算了这些特殊幂幺表示的关联链（associated cycle），从而为幂零轨道的几何量子化（geometric quantization）问题提供了系统性的证据。

在方法上，本文将群上的调和分析、幂零轨道的几何学与染色杨图的组合方法有机融合，使用这三个数学工具协同最终解决问题。

Journal of the American Mathematical Society是国际数学界公认的四大顶尖期刊之一。与Acta Mathematica（《数学学报》）、Annals of Mathematics（《数学年刊》）和Inventiones Mathematicae（《数学新进展》）齐名。该期刊审稿周期长，年发文仅20–25 篇。

原文链接：https://pubs.ams.org/journals/jams/0000-000-00/S0894-0347-2026-01082-X

（数学科学学院）